Avec une suite auxiliaire

On considère la suite  `u` définie par `u_0=3` et, pour tout entier naturel `n` , \(u_{n+1} = u_n + 2n − 1\) .

1. Calculer `u_1`  et `u_2` . La suite `u` est-elle une suite arithmétique ? Justifier.

2. On pose, pour tout entier naturel `n` , \(v_n = u_n − n^2\) .

    a. Calculer `v_0` , `v_1` et  `v_2` .

    b. Démontrer que, pour tout entier naturel `n` , \(v_{n+1}-v_n=-2\) .

Que peut-on en déduire sur la suite `v` ?

     c. En déduire, pour tout entier naturel `n` , l'expression de `v_n` en fonction de `n` .

3. Déterminer alors, pour tout entier naturel `n` , l'expression de  `u_n` en fonction de `n` .